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Question

Mathematics Question on Determinants

Verify A(adj A)=(adj A)A=∣A∣I\mid A \mid I.

[1−12\30−2\103]\begin{bmatrix}1&-1&2\\\3&0&-2\\\1&0&3\end{bmatrix}

Answer

A=[1−12\30−2\103]\begin{bmatrix}1&-1&2\\\3&0&-2\\\1&0&3\end{bmatrix}

IAI=1(0-0)+1(9+2)+2(0-0)=11

IAII=[100\010\001][1100\0110\0011]\begin{bmatrix}1&0&0\\\0&1&0\\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}11&0&0\\\0&11&0\\\0&0&11\end{bmatrix}

Now,A11=0,A12=-(9+2)=-11, A13=0
A21=-(-3-0)=3, A22=3-2=1,A23=-(0+1)=-1
A31=2-0=2, A32=-(-2-6)=8, A33=0+3=3
therefore adj A=[032 -1118 0-13]
Now,A(adjA)= [1−12\30−2\103][032−11118\0−13]\begin{bmatrix}1&-1&2\\\3&0&-2\\\1&0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&3&2\\\\-11&1&18\\\0&-1&3\end{bmatrix}

=[0+11+03−1−22−8+6\0+0+09+0+26+0−6\0+0+03+0−32+0+9]\begin{bmatrix}0+11+0&3-1-2&2-8+6\\\0+0+0&9+0+2&6+0-6\\\0+0+0&3+0-3&2+0+9\end{bmatrix}

=[1100\0110\0011]\begin{bmatrix}11&0&0\\\0&11&0\\\0&0&11\end{bmatrix}

Also ,(adjA).A=[032−11118\0−13][1−12\30−2\103]\begin{bmatrix}0&3&2\\\\-11&1&18\\\0&-1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1&2\\\3&0&-2\\\1&0&3\end{bmatrix}

=[0+9+20+0+00−6+6−11+3+811+0+0−22−2+24\0−3+30+0+00+2+9]\begin{bmatrix}0+9+2&0+0+0&0-6+6\\\\-11+3+8&11+0+0&-22-2+24\\\0-3+3&0+0+0&0+2+9\end{bmatrix}

=[1100\0110\0011]\begin{bmatrix}11&0&0\\\0&11&0\\\0&0&11\end{bmatrix}

Hence A(adjA)=(adj A)A=IAII.