Question

The variance of first n natural numbers is :

• A. $\ce{ \frac{n^2 + 1}{12}}$
• B. $\ce{ \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}}$
• C. $\ce{ \frac{n^2 - n}{12}}$
• D. $\ce{ \frac{n^2 - 1}{12}}$

Answer 1

Answer: (D)

$\ce{ \frac{n^2 - 1}{12}}$

Answer 2

We know that variance $\sigma^{2} = {\frac{\sum x_{i}^{2}}{n}}- \left( {\frac{\sum x_{i}}{n}}\right)^{2}$ First n natural numbers are: ? ? ? ? ? ? ? ${x_{i}}$ ? ? ? ${x_{1}^{2}}$ ? ? ? ? ? ? ? $1$ ? ? ? ? $1^2$ ? ? ? ? ? ? ? $2$ ? ? ? ? $2^2$ ? ? ? ? ? ? ? $3$ ? ? ? ? $3^2$ ? ? ? ? ? ? ? $4$ ? ? ? ? $4^2$ ? ? ? ? ? ? ? $5$ ? ? ? ? $5^2$ ? ? ? ? ? ? ? $\vdots$ ? ? ? ? $\vdots$ ? ? ? ? ? ? ? $n$ ? ? ? ? $n^2$ $\therefore \:\:\:\: { \sum x_{i}^{2} = \frac{n (n +1)(2n + 1)}{6}}$ and ${ \sum x_{i} = \frac{n (n +1)}{2}}$ $\sigma^{2}= \frac{\sum x_{i}^{2}}{n}- \left(\frac{\sum x_{i}}{n}\right)^{2}$ $= {\frac{n (n +1)(2n + 1)}{6n}} - \left[ {\frac{n(n + 1)}{2n} }\right]^2$ $= \frac{\left( {2n^{2} + 3n + 1}\right)}{6} -\left( {\frac{n + 1}{4}}\right)^{2}$ $= \frac{2[2n^2+3n+1]-3(n^2+1+2n)}{12}$ $= \frac{ {4n^{2} + 6n + 2 - 3n^{2 } - 3 - 6n} }{12} =\frac{ {n^{2}} - 1}{12}$