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Question: The value of\(\int _ { 2 } ^ { 3 } \frac { x + 1 } { x ^ { 2 } ( x - 1 ) } d x\)is...

The value of∫23x+1x2(x−1)dx\int _ { 2 } ^ { 3 } \frac { x + 1 } { x ^ { 2 } ( x - 1 ) } d xis

A

2log⁡2−162 \log 2 - \frac { 1 } { 6 }

B

log⁡169−16\log \frac { 16 } { 9 } - \frac { 1 } { 6 }

C

log⁡43−16\log \frac { 4 } { 3 } - \frac { 1 } { 6 }

D

log⁡169+16\log \frac { 16 } { 9 } + \frac { 1 } { 6 }

Answer

log⁡169−16\log \frac { 16 } { 9 } - \frac { 1 } { 6 }

Explanation

Solution

A(x−1)+B(x)(x−1)+C(x2)=x+1A ( x - 1 ) + B ( x ) ( x - 1 ) + C \left( x ^ { 2 } \right) = x + 1

Put A=−1,B=−2,C=2A = - 1 , B = - 2 , C = 2

⇒ I=−∫23dxx2−2∫23dxx+2∫23dxx−1I = - \int _ { 2 } ^ { 3 } \frac { d x } { x ^ { 2 } } - 2 \int _ { 2 } ^ { 3 } \frac { d x } { x } + 2 \int _ { 2 } ^ { 3 } \frac { d x } { x - 1 }

⇒ I=[1x]23−2[log⁡x]23+2[log⁡(x−1)]23I = \left[ \frac { 1 } { x } \right] _ { 2 } ^ { 3 } - 2 [ \log x ] _ { 2 } ^ { 3 } + 2 [ \log ( x - 1 ) ] _ { 2 } ^ { 3 }

⇒ I=log⁡169−16I = \log \frac { 16 } { 9 } - \frac { 1 } { 6 }.