Question

The value of the integral $\int _ { 0 } ^ { \log 5 } \frac { e ^ { x } \sqrt { e ^ { x } - 1 } } { e ^ { x } + 3 } d x =$

• A. $3 + 2 \pi$
• B. $4 - \pi$
• C. $2 + \pi$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (B)

$4 - \pi$

Answer 2

Put $e ^ { x } - 1 = t ^ { 2 } \Rightarrow e ^ { x } d x = 2 t d t$

Also as $x = 0$to $\log 5 , t = 0$to 2

Therefore, $\int _ { 0 } ^ { \log 5 } \frac { e ^ { x } \sqrt { e ^ { x } - 1 } } { e ^ { x } + 3 } d x = \int _ { 0 } ^ { 2 } \frac { 2 t ^ { 2 } } { t ^ { 2 } + 4 } d t$

$= 2 \left[ \int _ { 0 } ^ { 2 } 1 d t - 4 \int _ { 0 } ^ { 2 } \frac { d t } { t ^ { 2 } + 4 } \right] = 4 - \pi$.