Question

The value of the expression

$\left( 1 + \frac { 1 } { \omega } \right)$ $\left( 1 + \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \right)$+$\left( 2 + \frac { 1 } { \omega } \right)$ $\left( 2 + \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \right)$+

$\left( 3 + \frac { 1 } { \omega } \right)$ $\left( 3 + \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \right)$+…..+

Where w is an imaginary cube root of unity, is –

• A. $\frac { \mathrm { n } \left( \mathrm { n } ^ { 2 } + 2 \right) } { 3 }$
• B. $\frac { \mathrm { n } \left( \mathrm { n } ^ { 2 } - 2 \right) } { 3 }$
• C. $\frac { \mathrm { n } \left( \mathrm { n } ^ { 2 } + 1 \right) } { 3 }$
• D. None

Answer 1

Answer: (A)

$\frac { \mathrm { n } \left( \mathrm { n } ^ { 2 } + 2 \right) } { 3 }$

Answer 2

Sol. T_k = = (k + w²) (k + w)

= k² + k(w + w²) + w³ = k² + k(–1) + 1 = k² – k + 1.

\ Sum = T₁ + T₂ + ….. + T_n

= $\sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( k ^ { 2 } - k + 1 \right)$ = $\sum _ { k = 1 } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { k } ^ { 2 }$ – $\sum _ { \mathrm { k } = 1 } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { k } + \mathrm { n }$

= $\frac { \mathrm { n } ( \mathrm { n } + 1 ) ( 2 \mathrm { n } + 1 ) } { 6 }$ – + n = $\frac { \mathrm { n } \left( \mathrm { n } ^ { 2 } + 2 \right) } { 3 }$