Question

The value of $\int _ { e ^ { - 1 } } ^ { e ^ { 2 } } \left| \frac { \log _ { e } x } { x } \right| d x$ is

• A. $\frac { 3 } { 2 }$
• B. $\frac { 5 } { 2 }$
• C. 3
• D. 5

Answer 1

Answer: (B)

$\frac { 5 } { 2 }$

Answer 2

$\int _ { e ^ { - 1 } } ^ { e ^ { 2 } } \left| \frac { \log _ { e } x } { x } \right| d x = \int _ { e ^ { - 1 } } ^ { 1 } \left| \frac { \log _ { e } x } { x } \right| d x + \int _ { 1 } ^ { e ^ { 2 } } \left| \frac { \log _ { e } x } { x } \right| d x$

$= \int _ { - 1 } ^ { 0 } - z d z + \int _ { 0 } ^ { 2 } z d z$,

(Putting $\log _ { e } x = z$ ⇒ $( 1 / x ) d x = d z )$

$= \left[ - \frac { z ^ { 2 } } { 2 } \right] _ { - 1 } ^ { 0 } + \left[ \frac { z ^ { 2 } } { 2 } \right] _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } + 2 = \frac { 5 } { 2 }$.