Question

The value of $\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \sin ^ { 2 / 3 } x } { \sin ^ { 2 / 3 } x + \cos ^ { 2 / 3 } x } d x$ is

• A. $\pi / 4$
• B. $\pi / 2$
• C. $3 \pi / 4$
• D. $\pi$

Answer 1

Answer: (A)

$\pi / 4$

Answer 2

$I = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \sin ^ { 2 / 3 } x } { \sin ^ { 2 / 3 } x + \cos ^ { 2 / 3 } x } d x$

or $I = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \sin ^ { 2 / 3 } \left( \frac { \pi } { 2 } - x \right) } { \sin ^ { 2 / 3 } \left( \frac { \pi } { 2 } - x \right) + \cos ^ { 2 / 3 } \left( \frac { \pi } { 2 } - x \right) } d x$

or $I = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \cos ^ { 2 / 3 } x } { \cos ^ { 2 / 3 } x + \sin ^ { 2 / 3 } x } d x$

Therefore, $2 I = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \left( \sin ^ { 2 / 3 } x + \cos ^ { 2 / 3 } x \right) } { \left( \sin ^ { 2 / 3 } x + \cos ^ { 2 / 3 } x \right) } d x$

$\Rightarrow I = \frac { 1 } { 2 } [ x ] _ { 0 } ^ { \pi / 2 }$ $= \frac { \pi } { 4 }$ .

Trick: $\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \sin ^ { n } x } { \sin ^ { n } x + \cos ^ { n } x } d x = \frac { \pi } { 4 }$.