Question

The value of $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { e ^ { x } + e ^ { - x } }$ is

• A. $\tan ^ { - 1 } \left( \frac { 1 - e } { 1 + e } \right)$
• B. $\tan ^ { - 1 } \left( \frac { e - 1 } { e + 1 } \right)$
• C. $\frac { \pi } { 4 }$
• D. $\tan ^ { - 1 } e + \frac { \pi } { 4 }$

Answer 1

Answer: (B)

$\tan ^ { - 1 } \left( \frac { e - 1 } { e + 1 } \right)$

Answer 2

$\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { e ^ { x } + e ^ { - x } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { e ^ { x } } { 1 + e ^ { 2 x } } d x$

Now put $e ^ { x } = t \Rightarrow e ^ { x } d x = d t$

Also as $x = 0$ to 1, $t = 1$ to e, then reduced form is

$\int _ { 1 } ^ { e } \frac { d t } { 1 + t ^ { 2 } } = \left[ \tan ^ { - 1 } t \right] _ { 1 } ^ { e } = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { e - 1 } { e + 1 } \right)$ ,

$\left[ \because \tan ^ { - 1 } x - \tan ^ { - 1 } y = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { x - y } { 1 + x y } \right) \right]$ .