Question

The sum to n terms of the series, 1 + $\left( 1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } \right)$+

$\left( 1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 4 } } \right)$ + …… is

• A. 2n – $\frac { 4 } { 3 }$ $\left\{ 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } } \right\}$
• B. 2n + $\frac { 4 } { 3 }$ $\left\{ 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } } \right\}$
• C. 2n + $\frac { 4 } { 3 }$ $\left\{ 1 + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } } \right\}$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (D)

None of these

Answer 2

S_n = 1 + $\frac { 1 - \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 3 } } { 1 - \frac { 1 } { 2 } }$ + $\frac { 1 - \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 5 } } { 1 - \frac { 1 } { 2 } }$ + ….. n terms

= 1 + 2 $\left( 1 - \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 3 } \right)$+ 2 $\left( 1 - \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 5 } \right)$+ ……. n times

= 1 + (2 + 2 + …. (n – 1) times) –

$\left[ \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 4 } + \ldots . . ( \mathrm { n } - 1 ) \right.$ times $]$

= 1 + 2(n –1) – $\frac { ( 1 / 2 ) ^ { 2 } } { 1 - \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } }$ $\left( 1 - \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \mathrm { n } - 1 } \right)$

= 2n –1 – $\frac { 1 } { 3 }$ + $\frac { 2 } { 3.2 ^ { 2 \mathrm { n } } }$ = 2n –$\frac { 4 } { 3 }$ $\left( 1 + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } } \right)$