Question

The solution of the differential equation

$\left( 1 + x ^ { 2 } \right) ( 1 + y ) d y + ( 1 + x ) \left( 1 + y ^ { 2 } \right) d x = 0$ is

• A. $\tan ^ { - 1 } x + \log \left( 1 + x ^ { 2 } \right) + \tan ^ { - 1 } y + \log \left( 1 + y ^ { 2 } \right) = c$
• B. $\tan ^ { - 1 } x - \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 + x ^ { 2 } \right) + \tan ^ { - 1 } y - \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 + y ^ { 2 } \right) = c$
• C. $\tan ^ { - 1 } x + \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 + x ^ { 2 } \right) + \tan ^ { - 1 } y + \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 + y ^ { 2 } \right) = c$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (C)

$\tan ^ { - 1 } x + \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 + x ^ { 2 } \right) + \tan ^ { - 1 } y + \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 + y ^ { 2 } \right) = c$

Answer 2

Given equation

$\left( 1 + x ^ { 2 } \right) ( 1 + y ) d y + ( 1 + x ) \left( 1 + y ^ { 2 } \right) d x = 0$

⇒ $\frac { ( 1 + y ) } { \left( 1 + y ^ { 2 } \right) } d y = - \frac { ( 1 + x ) } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) } d x$

⇒ $\int \left[ \frac { 1 } { 1 + y ^ { 2 } } + \frac { y } { 1 + y ^ { 2 } } \right] d y + \int \left[ \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } + \frac { x } { 1 + x ^ { 2 } } \right] d x + c = 0$

⇒ $\tan ^ { - 1 } y + \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 + y ^ { 2 } \right) + \tan ^ { - 1 } x + \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 + x ^ { 2 } \right) = c$.