Question

The solution of the differential equation $\frac{dy}{dx} = \frac{xy + y}{xy + x}$ is

• A. $x + y - \log \frac{cy}{x}$
• B. $x + y = \log (cxy)$
• C. $x - y - \log \frac{cx}{y}$
• D. $y - x = \log \frac{cx}{y}$

Answer 1

Answer: (D)

$y - x = \log \frac{cx}{y}$

Answer 2

$\frac{ dy }{ dx }=\frac{ dy + y }{ xy + x }$ $\Rightarrow \frac{ dy }{ dx }=\frac{ y ( x +1)}{ x ( y +1)}$ $\Rightarrow \int\left(\frac{ y +1}{ y }\right) dy =\int\left(\frac{ x +1}{ x }\right) dx$ $\Rightarrow \int\left(1+\frac{1}{ y }\right) dy =\int\left(1+\frac{1}{ x }\right) dx$ $\Rightarrow y +\log y = x +\log x +\log c$ $\Rightarrow y - x +\log y -\log x =\log c$ $\Rightarrow y - x +\log \frac{ x }{ y }=\log c$ $\Rightarrow y - x =\log c -\log \frac{ y }{ x }$ $\Rightarrow y - x =\log c +\log \frac{ y }{ x }$ $\Rightarrow y - x =\log \left(\frac{ cx }{ y }\right)$