Question

The integral ∫sin2⁡xcos2⁡x(sin5⁡x+cos3⁡xsin2⁡x+xcos2⁡x+cos5⁡x)2dx is equal to:

• A. (A) $\frac{ 1}{1+ \cot^{3}x} + C$
• B. (B) $\frac{ -1}{1+ \cot^{3}x} + C$
• C. (C) $\frac{ 1}{ 3\big(1+ \cot^{3}x\big) } + C$
• D. (D) $\frac{ -1}{ 3\big(1+ \cot^{3}x\big) } + C$

Answer 1

Answer: (D)

(D) $\frac{ -1}{ 3\big(1+ \cot^{3}x\big) } + C$

Answer 2

Explanation:
∫sin2⁡xcos2⁡xdx(sin5⁡x+cos3⁡xsin2⁡x+sin3⁡xcos2⁡x+cos5⁡x)2∫sin2⁡x⋅cos2⁡xdx{(sin2⁡x(sin3⁡x+cos3⁡x)+cos2⁡x(sin3⁡x+cos3⁡x)}2∫sin2⁡x⋅cos2⁡xdx{(sin2⁡x+cos2⁡x)(sin3⁡x+cos3⁡x)}2∫sin2⁡xcos2⁡xdx(sin3⁡x+cos3⁡x)2Divide by cos3⁡x in numerator and denominator we get=∫sec2⁡x⋅tan2⁡x(tan3⁡x+1)2dxLet 1+tan3⁡x=t3tan2⁡xsec2⁡xdx=dt=13∫dtt2=−131t+C=−13(1+tan3⁡x)+CHence, the correct option is (D).