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Question

Question: The integral \(\int _ { - \infty } ^ { 0 } \frac { 1 } { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } d x , a \neq 0\) is...

The integral ∫−∞01a2+x2dx,a≠0\int _ { - \infty } ^ { 0 } \frac { 1 } { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } d x , a \neq 0 is

A

Convergent and equal to πa\frac { \pi } { a }

B

Convergent and equal to π2a\frac { \pi } { 2 a }

C

Divergent and equal to πa\frac { \pi } { a }

D

Divergent and equal to π2a\frac { \pi } { 2 a }

Answer

Convergent and equal to π2a\frac { \pi } { 2 a }

Explanation

Solution

I=∫−∞0dxa2+x2=lim⁡k→−∞∫k0dxa2+x2I = \int _ { - \infty } ^ { 0 } \frac { d x } { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } = \lim _ { k \rightarrow - \infty } \int _ { k } ^ { 0 } \frac { d x } { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } }

⇒ I=lim⁡k→−∞[1atan⁡−1xa]k0=lim⁡k→−∞[1atan⁡−10−1atan⁡−1ka]I = \lim _ { k \rightarrow - \infty } \left[ \frac { 1 } { a } \tan ^ { - 1 } \frac { x } { a } \right] _ { k } ^ { 0 } = \lim _ { k \rightarrow - \infty } \left[ \frac { 1 } { a } \tan ^ { - 1 } 0 - \frac { 1 } { a } \tan ^ { - 1 } \frac { k } { a } \right]

⇒ I=0−1atan⁡−1(−∞)=−1a(−π2)=π2aI = 0 - \frac { 1 } { a } \tan ^ { - 1 } ( - \infty ) = - \frac { 1 } { a } \left( \frac { - \pi } { 2 } \right) = \frac { \pi } { 2 a }

Hence integral is convergent.