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Question

Question: The greatest and the least value of \(\left( \sin ^ { - 1 } x \right) ^ { 3 } + \left( \cos ^ { - 1 ...

The greatest and the least value of (sin⁡−1x)3+(cos⁡−1x)3\left( \sin ^ { - 1 } x \right) ^ { 3 } + \left( \cos ^ { - 1 } x \right) ^ { 3 }are.

A

−π2,π2- \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 2 }

B

−π38,π38- \frac { \pi ^ { 3 } } { 8 } , \frac { \pi ^ { 3 } } { 8 }

C

7π38,π332\frac { 7 \pi ^ { 3 } } { 8 } , \frac { \pi ^ { 3 } } { 32 }

D

None of these

Answer

7π38,π332\frac { 7 \pi ^ { 3 } } { 8 } , \frac { \pi ^ { 3 } } { 32 }

Explanation

Solution

We have (sin⁡−1x)3+(cos⁡−1x)3\left( \sin ^ { - 1 } x \right) ^ { 3 } + \left( \cos ^ { - 1 } x \right) ^ { 3 }

=(sin⁡−1x+cos⁡−1x)3= \left( \sin ^ { - 1 } x + \cos ^ { - 1 } x \right) ^ { 3 } −3sin⁡−1xcos⁡−1x(sin⁡−1x+cos⁡−1x)- 3 \sin ^ { - 1 } x \cos ^ { - 1 } x \left( \sin ^ { - 1 } x + \cos ^ { - 1 } x \right)

=π38−3π2sin⁡−1x(π2−sin⁡−1x)\frac { \pi ^ { 3 } } { 8 } - \frac { 3 \pi } { 2 } \sin ^ { - 1 } x \left( \frac { \pi } { 2 } - \sin ^ { - 1 } x \right)

= π38−3π24sin⁡−1x+3π2(sin⁡−1x)2\frac { \pi ^ { 3 } } { 8 } - \frac { 3 \pi ^ { 2 } } { 4 } \sin ^ { - 1 } x + \frac { 3 \pi } { 2 } \left( \sin ^ { - 1 } x \right) ^ { 2 }

=π38+3π2[(sin⁡−1x)2−π2sin⁡−1x]\frac { \pi ^ { 3 } } { 8 } + \frac { 3 \pi } { 2 } \left[ \left( \sin ^ { - 1 } x \right) ^ { 2 } - \frac { \pi } { 2 } \sin ^ { - 1 } x \right]

=π38+3π2[(sin⁡−1x−π4)2]−3π332= \frac { \pi ^ { 3 } } { 8 } + \frac { 3 \pi } { 2 } \left[ \left( \sin ^ { - 1 } x - \frac { \pi } { 4 } \right) ^ { 2 } \right] - \frac { 3 \pi ^ { 3 } } { 32 } =π332+3π2(sin⁡−1x−π4)2= \frac { \pi ^ { 3 } } { 32 } + \frac { 3 \pi } { 2 } \left( \sin ^ { - 1 } x - \frac { \pi } { 4 } \right) ^ { 2 }

∴ The least value is (sin⁡−1x−π4)2≤(3π4)2\left( \sin ^ { - 1 } x - \frac { \pi } { 4 } \right) ^ { 2 } \leq \left( \frac { 3 \pi } { 4 } \right) ^ { 2 }

∴ The greatest value is π332+9π216×3π2=7π38\frac { \pi ^ { 3 } } { 32 } + \frac { 9 \pi ^ { 2 } } { 16 } \times \frac { 3 \pi } { 2 } = \frac { 7 \pi ^ { 3 } } { 8 } .