Question

The direction cosines of a line equally inclined to three mutually perpendicular lines having direction cosines as $l _ { 1 } , m _ { 1 } , n _ { 1 } ; l _ { 2 } , m _ { 2 } , n _ { 2 }$ and $l _ { 3 } , m _ { 3 } , n _ { 3 }$ are

• A. $l _ { 1 } + l _ { 2 } + l _ { 3 } , m _ { 1 } + m _ { 2 } + m _ { 3 } , n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 }$
• B. $\frac { l _ { 1 } + l _ { 2 } + l _ { 3 } } { \sqrt { 3 } } , \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } + m _ { 3 } } { \sqrt { 3 } } , \frac { n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } } { \sqrt { 3 } }$
• C. $\frac { l _ { 1 } + l _ { 2 } + l _ { 3 } } { 3 } , \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } + m _ { 3 } } { 3 } , \frac { n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } } { 3 }$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (B)

$\frac { l _ { 1 } + l _ { 2 } + l _ { 3 } } { \sqrt { 3 } } , \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } + m _ { 3 } } { \sqrt { 3 } } , \frac { n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } } { \sqrt { 3 } }$

Answer 2

Since the three lines are mutually perpendicular,

$\therefore$ $l _ { 1 } l _ { 2 } + m _ { 1 } m _ { 2 } + n _ { 1 } n _ { 2 } = 0$

$l _ { 2 } l _ { 3 } + m _ { 2 } m _ { 3 } + n _ { 2 } n _ { 3 } = 0$

$l _ { 3 } l _ { 1 } + m _ { 3 } m _ { 1 } + n _ { 3 } n _ { 1 } = 0$

Also,$l _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 1 } ^ { 2 } = 1 , l _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 2 } ^ { 2 } = 1 , l _ { 3 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } = 1$

Now, $\left( l _ { 1 } + l _ { 2 } + l _ { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( m _ { 1 } + m _ { 2 } + m _ { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } \right) ^ { 2 }$

= $\left( l _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 1 } ^ { 2 } \right) + \left( l _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \left( l _ { 3 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } \right)$

+ $2 \left( l _ { 1 } l _ { 2 } + m _ { 1 } m _ { 2 } + n _ { 1 } n _ { 2 } \right) + 2 \left( l _ { 2 } l _ { 3 } + m _ { 2 } m _ { 3 } + n _ { 2 } n _ { 3 } \right)$

$+ 2 \left( l _ { 3 } l _ { 1 } + m _ { 3 } m _ { 1 } + n _ { 3 } n _ { 1 } \right)$ = 3

⇒ $\left( l _ { 1 } + l _ { 2 } + l _ { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( m _ { 1 } + m _ { 2 } + m _ { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } \right) ^ { 2 } = 3$

Hence, direction cosines of required line are :

$\left( \frac { l _ { 1 } + l _ { 2 } + l _ { 3 } } { \sqrt { 3 } } , \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } + m _ { 3 } } { \sqrt { 3 } } , \frac { n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } } { \sqrt { 3 } } \right)$

Note: Students should remember it as a fact.