Question

The area bounded by the circle $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$ line $x = \sqrt { 3 } y$ and $x -$axis lying in the first quadrant, is

• A. $\frac { \pi } { 2 }$
• B. $\frac { \pi } { 4 }$
• C. $\frac { \pi } { 3 }$
• D. $\pi$

Answer 1

Answer: (C)

$\frac { \pi } { 3 }$

Answer 2

Required area $= \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 3 } } \frac { x } { \sqrt { 3 } } d x + \int _ { \sqrt { 3 } } ^ { 2 } \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } d x$

$= \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left[ \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right] _ { 0 } ^ { \sqrt { 3 } } + \left[ \frac { x } { 2 } \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } + \frac { 4 } { 2 } \sin ^ { - 1 } \frac { x } { 2 } \right] _ { \sqrt { 3 } } ^ { 2 }$

$= \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } + \left[ \pi - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } - \frac { 2 \pi } { 3 } \right] = \frac { \pi } { 3 }$.

Trick : Area of sector made by an arc

$= \frac { \pi } { 6 } \cdot \frac { 4 } { 2 } = \frac { \pi } { 3 }$.