Question

$\tan \left[ \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { - 1 } \left( \frac { 2 a } { 1 + a ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \cos ^ { - 1 } \left( \frac { 1 - a ^ { 2 } } { 1 + a ^ { 2 } } \right) \right] =$

• A. $\frac { 2 a } { 1 + a ^ { 2 } }$
• B. $\frac { 1 - a ^ { 2 } } { 1 + a ^ { 2 } }$
• C. $\frac { 2 a } { 1 - a ^ { 2 } }$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (C)

$\frac { 2 a } { 1 - a ^ { 2 } }$

Answer 2

$\tan \left[ \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { - 1 } \left( \frac { 2 a } { 1 + a ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \cos ^ { - 1 } \left( \frac { 1 - a ^ { 2 } } { 1 + a ^ { 2 } } \right) \right]$

$= \tan \left[ \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { - 1 } \left( \frac { 2 \tan \theta } { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } \right) + \frac { 1 } { 2 } \cos ^ { - 1 } \left( \frac { 1 - \tan ^ { 2 } \theta } { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } \right) \right]$

(Let $a = \tan \theta$ )

$= \tan \left[ \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { - 1 } ( \sin 2 \theta ) + \frac { 1 } { 2 } \cos ^ { - 1 } ( \cos 2 \theta ) \right]$

$= \tan ( 2 \theta ) = \tan 2 \theta = \frac { 2 \tan \theta } { 1 - \tan ^ { 2 } \theta } = \frac { 2 a } { 1 - a ^ { 2 } }$

Trick : Put $a = 1$, then $\tan \left( \frac { \pi } { 4 } + \frac { \pi } { 4 } \right) = \infty$, which is given by (3).