Solveeit Logo
Login

Question

Question: \(\sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( k + 2 ) \sqrt { k } + k \sqrt { k + 2 } }\) = \(\f...

∑k=1∞1(k+2)k+kk+2\sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( k + 2 ) \sqrt { k } + k \sqrt { k + 2 } } = a+bc\frac { \sqrt { \mathrm { a } } + \sqrt { \mathrm { b } } } { \sqrt { \mathrm { c } } } where a, b, c Î N and lie in [1, 15], then a + b + c equals to-

A

6

B

8

C

10

D

11

Answer

11

Explanation

Solution

Let Tk =

= 12[1k−1k+2]\frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { \mathrm { k } } } - \frac { 1 } { \sqrt { \mathrm { k } + 2 } } \right]

\ T1 = 12[11−13]\frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { 1 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right]

T2 = 12[12−14]\frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 4 } } \right]

T3 = 12[13−15]\frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \right] and so on

\ As k ® ¥, sum = 12[1+12]\frac { 1 } { 2 } \left[ 1 + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right] = 1+222\frac { 1 + \sqrt { 2 } } { 2 \sqrt { 2 } }

= 1+28\frac { \sqrt { 1 } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { 8 } }

a + b + c = 11.