Question

Show that $|\vec{a}|\vec{b}+|\vec{b}|\vec{a}$is perpendicular to $|\vec{a}|\vec{b}-|\vec{b}|\vec{a}$ for any two nonzero vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$

Answer 1

(|\vec{a}|\vec{b}+|\vec{b}|\vec{a})$$.(|\vec{a}|\vec{b}-|\vec{b}|\vec{a})
$=|\vec{a}|^2\vec{b}.\vec{b}-|\vec{a}||\vec{b}|\vec{b}.\vec{a}+|\vec{b}|\vec{a}|\vec{a}.\vec{b}-|\vec{b}|^2\vec{a}.\vec{a}$
$=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-|\vec{b}|^2|\vec{a}|^2$
$=0$
Hence,$|\vec{a}|\vec{b}+|\vec{b}|\vec{a}$ and $|\vec{a}|\vec{b}-|\vec{b}|\vec{a}$ are perpendicular to each other.