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Question

Mathematics Question on Matrices

Show that
(i)\begin{bmatrix}5&-1\\\6&7\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}2&1\\\3&4\end{bmatrix}$$\neq \begin{bmatrix}2&1\\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&-1\\\6&7\end{bmatrix}

(ii)\begin{bmatrix}1&2&3\\\0&1&0\\\ 1&1&0\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}-1&1&0\\\0&-1&1\\\ 2&3&4\end{bmatrix}$$\neq \begin{bmatrix}-1&1&0\\\0&-1&1\\\ 2&3&4\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}1&2&3\\\0&1&0\\\ 1&1&0\end{bmatrix}

Answer

(i)\begin{bmatrix}5&-1\\\6&7\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}2&1\\\3&4\end{bmatrix}

=[5(2)−1(3)5(1)−1(4)\6(2)+7(3)6(1)+7(4)]\begin{bmatrix}5(2)-1(3)&5(1)-1(4)\\\6(2)+7(3)&6(1)+7(4)\end{bmatrix}

=[10−35−4\12+216+28]\begin{bmatrix}10-3&5-4\\\12+21&6+28\end{bmatrix}=[71\3334]\begin{bmatrix}7&1\\\33&34\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}2&1\\\3&4\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}2&1\\\3&4\end{bmatrix}

=[2(5)+1(6)2(−1)+1(7)\3(5)+4(6)3(−1)+4(7)]\begin{bmatrix}2(5)+1(6)&2(-1)+1(7)\\\3(5)+4(6)&3(-1)+4(7)\end{bmatrix}

=[10+6−2+7\15+24−3+28]\begin{bmatrix}10+6&-2+7\\\15+24&-3+28\end{bmatrix}

=[[165\3925]\begin{bmatrix}16&5\\\39&25\end{bmatrix}

∴\therefore \begin{bmatrix}5&-1\\\6&7\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}2&1\\\3&4\end{bmatrix}≠\begin{bmatrix}2&1\\\3&4\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}5&-1\\\6&7\end{bmatrix}

(ii)\begin{bmatrix}1&2&3\\\0&1&0\\\ 1&1&0\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}-1&1&0\\\0&-1&1\\\ 2&3&4\end{bmatrix}

=[1(−1)+2(0)+3(2)1(1)+2(−1)+3(3)1(0)+2(−1)+3(4)\0(−1)+1(0)+0(2)0(1)+1(−1)+0(3)0(0)+1(1)+0(4)\1(−1)+1(0)+0(2)1(1)+1(−1)+0(3)1(0)+1(1)+0(4)]\begin{bmatrix}1(-1)+2(0)+3(2)&1(1)+2(-1)+3(3)&1(0)+2(-1)+3(4)\\\0(-1)+1(0)+0(2)&0(1)+1(-1)+0(3)&0(0)+1(1)+0(4)\\\1(-1)+1(0)+0(2)&1(1)+1(-1)+0(3)&1(0)+1(1)+0(4)\end{bmatrix}

=[5814\0−11 −101]\begin{bmatrix}5&8&14\\\0&-1&1\\\ -1&0&1\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}-1&1&0\\\0&-1&1\\\ 2&3&4\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}1&2&3\\\0&1&0\\\ 1&1&0\end{bmatrix}

=[−1(1)1(0)+0(1)−1(2)+1(1)+0(1)−1(3)+1(0)+0(0)\0(1)+(−1(0)+1(1)0(2)+(−1)(1)+1(1)0(3)+(−1)(0)+1(0)\2(1)+3(0)+4(1)2(2)+3(1)+4(1)2(3)+3(0)+4(0)]\begin{bmatrix}-1(1)1(0)+0(1)&-1(2)+1(1)+0(1)&-1(3)+1(0)+0(0)\\\0(1)+(-1(0)+1(1)&0(2)+(-1)(1)+1(1)&0(3)+(-1)(0)+1(0)\\\2(1)+3(0)+4(1)&2(2)+3(1)+4(1)&2(3)+3(0)+4(0)\end{bmatrix}

=[−1−1−3\100 6116]\begin{bmatrix}-1&-1&-3\\\1&0&0\\\ 6&11&6\end{bmatrix}

∴\therefore \begin{bmatrix}1&2&3\\\0&1&0\\\ 1&1&0\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}-1&1&0\\\0&-1&1\\\ 2&3&4\end{bmatrix}≠ \begin{bmatrix}-1&1&0\\\0&-1&1\\\ 2&3&4\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}1&2&3\\\0&1&0\\\ 1&1&0\end{bmatrix}