Question

Select all choices that are subspaces of $\R^3$.
Note : $\R$ denotes the set of real numbers.

• A. \left\\{x=\begin{bmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \end{bmatrix} \in \R^3:x=\alpha\begin{bmatrix} 1 \\\ 1 \\\ 0 \end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{bmatrix},\alpha,\beta \in \R \right\\}
• B. \left\\{x=\begin{bmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \end{bmatrix} \in \R^3:x=\alpha^2\begin{bmatrix} 1 \\\ 1 \\\ 0 \end{bmatrix}+\beta^2\begin{bmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{bmatrix},\alpha,\beta \in \R \right\\}
• C. \left\\{x=\begin{bmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \end{bmatrix} \in \R^3:5x_1+2x_3=0,4x_1-2x_2+3x_3=0\right\\}
• D. \left\\{x=\begin{bmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \end{bmatrix} \in \R^3:5x_1+2x_3+4-0\right\\}

Answer 1

Answer: (A), (C)

\left\\{x=\begin{bmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \end{bmatrix} \in \R^3:x=\alpha\begin{bmatrix} 1 \\\ 1 \\\ 0 \end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{bmatrix},\alpha,\beta \in \R \right\\}

Answer 2

The correct option is (A) : \left\\{x=\begin{bmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \end{bmatrix} \in \R^3:x=\alpha\begin{bmatrix} 1 \\\ 1 \\\ 0 \end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{bmatrix},\alpha,\beta \in \R \right\\} and (C) : \left\\{x=\begin{bmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \end{bmatrix} \in \R^3:5x_1+2x_3=0,4x_1-2x_2+3x_3=0\right\\}