Solveeit Logo
Login

Question

Mathematics Question on Trigonometric Identities

Prove the following identities, where the angles involved are acute angles for which the expressions are defined:(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A\text{(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A}

Answer

(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A\text{(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A}

L.H.S =(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²\text{(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²}
⇒ sin² A + cosec² A + 2sin A cosec A + cos² A + sec² A + 2cos A sec A⇒\text{ sin² A + cosec² A + 2sin A cosec A + cos² A + sec² A + 2cos A sec A}

Rearranging and using sec A=1cos A\text{sec A} = \frac{1}{\text{cos A}} and cosec A=1sin A\text{cosec A} =\frac{ 1}{\text{sin A}}

⇒ (sin² A + cos² A) + (cosec² A + sec² A)+ 2 sin A (1sin A)+2cos A (1cos A)⇒\text{ (sin² A + cos² A) + (cosec² A + sec² A)+ 2 sin A }(\frac{1}{\text{sin A}}) +\text{2cos A }(\frac{1}{\text{cos A}})

⇒1 + 1 + cot² A + 1 + tan² A + 2 + 2⇒ \text{1 + 1 + cot² A + 1 + tan² A + 2 + 2}

=7 + tan² A + cot² A= \text{7 + tan² A + cot² A}
= R.H.S