Question

Prove that ($\vec a+\vec b$).($\vec a+\vec b$)=|$\vec a$|2+|$\vec b$|2, if and only if $\vec a$,$\vec b$ are perpendicular, given a≠0,b≠0.

Answer 1

($\vec a+\vec b$).($\vec a+\vec b$)=$\vec a$|2+|$\vec b$|2
⇔ $\vec a.\vec a$+$\vec a.\vec b$+$\vec b.\vec a$+$\vec b.\vec b$=|$\vec a$|2+|$\vec b$|2 [Distributivity of scalar products over addition]
⇔|$\vec a$|2+2$\vec a$.$\vec b$+|$\vec b$|2=|$\vec a$|2+|$\vec b$|2 [$\vec a.\vec b=\vec b.\vec a$(Scalar product is commutative)]
⇔$2\vec a.\vec b$=0
⇔$\vec a.\vec b$=0
∴$\vec a$ and $\vec b$ are perpendicular. [$\vec a$≠$\vec 0$,$\vec b$≠$\vec 0$(Given)]