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Question

Question: PE of a particle is U(x) = \(\frac { a } { x ^ { 2 } } - \frac { b } { x }\). Find the time period o...

PE of a particle is U(x) = ax2−bx\frac { a } { x ^ { 2 } } - \frac { b } { x }. Find the time period of small oscillation.

A

2π8a3mb42 \pi \sqrt { \frac { 8 a ^ { 3 } m } { b ^ { 4 } } }

B

2π8b3mb42 \pi \sqrt { \frac { 8 b ^ { 3 } m } { b ^ { 4 } } }

C

2π8a4mb32 \pi \sqrt { \frac { 8 a ^ { 4 } m } { b ^ { 3 } } }

D

2π8b4ma32 \pi \sqrt { \frac { 8 b ^ { 4 } m } { a ^ { 3 } } }

Answer

2π8a3mb42 \pi \sqrt { \frac { 8 a ^ { 3 } m } { b ^ { 4 } } }

Explanation

Solution

The equilibrium position isdudx\frac { d u } { d x }=0 =>−2ax03+bx02\frac { - 2 a } { x _ { 0 } ^ { 3 } } + \frac { b } { x _ { 0 } ^ { 2 } } = 0

or x0 =2ab\frac { 2 a } { b }

u(x) =ax02−bx0+(x−x0)dUdx∣x=x0\frac { a } { x _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { b } { x _ { 0 } } + \left. \left( x - x _ { 0 } \right) \frac { d U } { d x } \right| _ { x = x _ { 0 } }

12(x−x0)2d2udx2∣x=x0\left. \frac { 1 } { 2 } \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } u } { d x ^ { 2 } } \right| _ { x = x _ { 0 } }

d2udx2∣x=x0=6ax04−2bx03=6a(2ab)4−2b(2ab)3=b48a3\left. \frac { d ^ { 2 } u } { d x ^ { 2 } } \right| _ { x = x _ { 0 } } = \frac { 6 a } { x _ { 0 } ^ { 4 } } - \frac { 2 b } { x _ { 0 } ^ { 3 } } = \frac { 6 a } { \left( \frac { 2 a } { b } \right) ^ { 4 } } - \frac { 2 b } { \left( \frac { 2 a } { b } \right) ^ { 3 } } = \frac { b ^ { 4 } } { 8 a ^ { 3 } }

Thus, u{x) = U(x0) +12(b48a3)\frac { 1 } { 2 } \left( \frac { b ^ { 4 } } { 8 a ^ { 3 } } \right)y2

Comparing with 12mω2y2=12b48a3y2\frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } y ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \frac { b ^ { 4 } } { 8 a ^ { 3 } } y ^ { 2 }

ω=b48a3m\omega = \sqrt { \frac { b ^ { 4 } } { 8 a ^ { 3 } m } }

or T = 2π8a3mb42 \pi \sqrt { \frac { 8 a ^ { 3 } m } { b ^ { 4 } } }