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Question

Question: \(\int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { d x } { 1 - 2 a \cos x + a ^ { 2 } }\)=...

∫0πdx1−2acos⁡x+a2\int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { d x } { 1 - 2 a \cos x + a ^ { 2 } }=

A

π2(1−a2)\frac { \pi } { 2 \left( 1 - a ^ { 2 } \right) }

B

π(1−a2)\pi \left( 1 - a ^ { 2 } \right)

C

π1−a2\frac { \pi } { 1 - a ^ { 2 } }

D

None of these

Answer

π1−a2\frac { \pi } { 1 - a ^ { 2 } }

Explanation

Solution

∫0πdx(1+a2)(cos⁡2x2+sin⁡2x2)−2d(cos⁡2x2−sin⁡2x2)\int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { d x } { \left( 1 + a ^ { 2 } \right) \left( \cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { x } { 2 } \right) - 2 d \left( \cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 } - \sin ^ { 2 } \frac { x } { 2 } \right) }

=∫0πdx(1−a)2cos⁡2x2+(1+a)2sin⁡2x2= \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { d x } { ( 1 - a ) ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 } + ( 1 + a ) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \frac { x } { 2 } }

=2(1+a)2∫0∞dt{(1−a)/(1+a)}2+t2= \frac { 2 } { ( 1 + a ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { \{ ( 1 - a ) / ( 1 + a ) \} ^ { 2 } + t ^ { 2 } }; {where t=tan⁡x2t = \tan \frac { x } { 2 }}

=2(1+a)2(1+a)(1−a)[tan⁡−1(1+a1−a⋅t)]0∞= \frac { 2 } { ( 1 + a ) ^ { 2 } } \frac { ( 1 + a ) } { ( 1 - a ) } \left[ \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 1 + a } { 1 - a } \cdot t \right) \right] _ { 0 } ^ { \infty }

=2(1−a2)[tan⁡−1∞−tan⁡−10]=π1−a2= \frac { 2 } { \left( 1 - a ^ { 2 } \right) } \left[ \tan ^ { - 1 } \infty - \tan ^ { - 1 } 0 \right] = \frac { \pi } { 1 - a ^ { 2 } }.