Question

$\int _ { 0 } ^ { 2 } \frac { x ^ { 3 } d x } { \left( x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } =$

• A. $( \sqrt { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$
• B. $\frac { ( \sqrt { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } }$
• C. $\frac { \sqrt { 2 } - 1 } { \sqrt { 2 } }$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (D)

None of these

Answer 2

Put $t = x ^ { 2 } + 1 \Rightarrow d t = 2 x d x$

$\int _ { 0 } ^ { 2 } \frac { x ^ { 3 } } { \left( x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 3 / 2 } } d x = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 1 } ^ { 5 } \frac { ( t - 1 ) } { t ^ { 3 / 2 } } d t = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 1 } ^ { 5 } \left[ t ^ { - 1 / 2 } - t ^ { - 3 / 2 } \right] d t$

$= \frac { 1 } { 2 } \left[ 2 \sqrt { t } + 2 \frac { 1 } { \sqrt { t } } \right] _ { 1 } ^ { 5 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ 2 \sqrt { 5 } + \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } - 2 - 2 \right]$

$= \left[ \sqrt { 5 } + \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } - 2 \right] = \frac { 6 - 2 \sqrt { 5 } } { \sqrt { 5 } }$ .