Question

$\int _ { \pi / 4 } ^ { \pi / 2 } e ^ { x } ( \log \sin x + \cot x ) d x =$

• A. $e ^ { \pi / 4 } \log 2$
• B. $- e ^ { \pi / 4 } \log 2$
• C. $\frac { 1 } { 2 } e ^ { \pi / 4 } \log 2$
• D. $- \frac { 1 } { 2 } e ^ { \pi / 4 } \log 2$

Answer 1

Answer: (C)

$\frac { 1 } { 2 } e ^ { \pi / 4 } \log 2$

Answer 2

Let $I = \int _ { \pi / 4 } ^ { \pi / 2 } e ^ { x } ( \log \sin x + \cot x ) d x$

$I = \int _ { \pi / 4 } ^ { \pi / 2 } e ^ { x } \log \sin x d x + \int _ { \pi / 4 } ^ { \pi / 2 } e ^ { x } \cot x d x$

$= \int _ { \pi / 4 } ^ { \pi / 2 } e ^ { x } \log \sin x d x + \left[ e ^ { x } \log \sin x \right] _ { \pi / 4 } ^ { \pi / 2 }$

$- \int _ { \pi / 4 } ^ { \pi / 2 } e ^ { x } \log \sin x d x$

$= e ^ { \pi / 2 } \log \sin \frac { \pi } { 2 } - e ^ { \pi / 4 } \log \sin \frac { \pi } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } e ^ { \pi / 4 } \log 2$ .