Question

$\int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \frac { \sin x + \cos x } { 9 + 16 \sin 2 x } d x =$

• A. $\frac { 1 } { 20 } \log 3$
• B. $\log 3$
• C. $\frac { 1 } { 20 } \log 5$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (A)

$\frac { 1 } { 20 } \log 3$

Answer 2

Let $I = \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \frac { \sin x + \cos x } { 9 + 16 \sin 2 x } d x$

Put $\sin x - \cos x = t$, then $( \sin x + \cos x ) d x = d t$

$I = \int _ { - 1 } ^ { 0 } \frac { d t } { 9 + 16 \left( 1 - t ^ { 2 } \right) } = \int _ { - 1 } ^ { 0 } \frac { d t } { 25 - 16 t ^ { 2 } }$

$= \frac { 1 } { 10 } \int _ { - 1 } ^ { 0 } \left( \frac { 1 } { 5 - 4 t } + \frac { 1 } { 5 + 4 t } \right) d t$

$= \left| \frac { 1 } { 10 } \cdot \frac { 1 } { 4 } [ \log ( 5 + 4 t ) - \log ( 5 - 4 t ) ] \right| _ { - 1 } ^ { 0 }$

$= \frac { 1 } { 40 } ( \log 9 - \log 1 ) = \frac { 1 } { 20 } \log 3$.