Solveeit Logo
Login

Question

Question: \(\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d x } { 2 + \cos x } =\)...

∫0π/2dx2+cos⁡x=\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d x } { 2 + \cos x } =

A

13tan⁡−1(13)\frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right)

B

3tan⁡−1(3)\sqrt { 3 } \tan ^ { - 1 } ( \sqrt { 3 } )

C

23tan⁡−1(13)\frac { 2 } { \sqrt { 3 } } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right)

D

23tan⁡−1(3)2 \sqrt { 3 } \tan ^ { - 1 } ( \sqrt { 3 } )

Answer

23tan⁡−1(13)\frac { 2 } { \sqrt { 3 } } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right)

Explanation

Solution

I=∫0π/2dx2+cos⁡xI = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d x } { 2 + \cos x }

=∫0π/2dx2sin⁡2x2+2cos⁡2x2+cos⁡2x2−sin⁡2x2= \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d x } { 2 \sin ^ { 2 } \frac { x } { 2 } + 2 \cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 } + \cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 } - \sin ^ { 2 } \frac { x } { 2 } }

=∫0π/2dxsin⁡2x2+3cos⁡2x2=∫0π/2sec⁡2x23+tan⁡2x2dx= \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d x } { \sin ^ { 2 } \frac { x } { 2 } + 3 \cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 } } = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \sec ^ { 2 } \frac { x } { 2 } } { 3 + \tan ^ { 2 } \frac { x } { 2 } } d x

Put t=tan⁡x2⇒dt=12sec⁡2x2dxt = \tan \frac { x } { 2 } \Rightarrow d t = \frac { 1 } { 2 } \sec ^ { 2 } \frac { x } { 2 } d x, then

I=2∫01dt3+t2=23tan⁡−1(13)I = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d t } { 3 + t ^ { 2 } } = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right) .