Question

$\int _ { 0 } ^ { 1 } \sin ^ { - 1 } \left( \frac { 2 x } { 1 + x ^ { 2 } } \right) d x =$

• A. $\frac { \pi } { 2 } - 2 \log \sqrt { 2 }$
• B. $\frac { \pi } { 2 } + 2 \log \sqrt { 2 }$
• C. $\frac { \pi } { 4 } - \log \sqrt { 2 }$
• D. $\frac { \pi } { 4 } + \log \sqrt { 2 }$

Answer 1

Answer: (A)

$\frac { \pi } { 2 } - 2 \log \sqrt { 2 }$

Answer 2

Put $x = \tan \theta$ $d x = \sec ^ { 2 } \theta d \theta$

As $x = 1 \Rightarrow \theta = \frac { \pi } { 4 }$ and $x = 0 \Rightarrow \theta = 0$, then

$I = 2 \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \theta \sec ^ { 2 } \theta d \theta = 2 [ \theta \tan \theta ] _ { 0 } ^ { \pi / 4 } - 2 \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \tan \theta d \theta$

= $\frac { \pi } { 2 } + 2 [ \log \cos x ] _ { 0 } ^ { \pi / 4 } = \frac { \pi } { 2 } - 2 \log \sqrt { 2 }$.