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Question

Question: \(\int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \frac { 1 - x } { 1 + x } } d x\) equals...

∫011−x1+xdx\int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \frac { 1 - x } { 1 + x } } d x equals

A

(π2−1)\left( \frac { \pi } { 2 } - 1 \right)

B

(π2+1)\left( \frac { \pi } { 2 } + 1 \right)

C

π2\frac { \pi } { 2 }

D

(π+1)( \pi + 1 )

Answer

(π2−1)\left( \frac { \pi } { 2 } - 1 \right)

Explanation

Solution

I=∫011−x1+xdx=∫011−x1+x⋅1−x1−xdxI = \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \frac { 1 - x } { 1 + x } } d x = \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \frac { 1 - x } { 1 + x } } \cdot \frac { \sqrt { 1 - x } } { \sqrt { 1 - x } } d x

=∫011−x1−x2dx=∫01dx1−x2−∫01x1−x2dx= \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 - x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } d x = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } - \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } d x I=[sin⁡−1x]01+[1−x2]01=π2−1I = \left[ \sin ^ { - 1 } x \right] _ { 0 } ^ { 1 } + \left[ \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \right] _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { \pi } { 2 } - 1.