Question

$\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { 1 + 2 \cos x } { ( 2 + \cos x ) ^ { 2 } } =$

• A. $\frac { \pi } { 2 }$
• B. $\pi$
• C. $\frac { 1 } { 2 }$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (C)

$\frac { 1 } { 2 }$

Answer 2

$\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { ( 1 + 2 \cos x ) } { ( 2 + \cos x ) ^ { 2 } } d x = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { 2 ( \cos x + 2 ) - 3 } { ( 2 + \cos x ) ^ { 2 } } d x$

$= 2 \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d x } { 2 + \cos x } - 3 \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d x } { ( 2 + \cos x ) ^ { 2 } }$

$= 4 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d t } { 3 + t ^ { 2 } } - 6 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 + t ^ { 2 } } { \left( 3 + t ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } d t$ , $\left[ \right.$ Put $\left. \tan \frac { x } { 2 } = t \right]$

$= - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d t } { 3 + t ^ { 2 } } + 12 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d t } { \left( 3 + t ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

$= - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d t } { 3 + t ^ { 2 } } + 12 \left[ \frac { 1 } { 6 } \cdot \frac { t } { t ^ { 2 } + 3 } \right] _ { 0 } ^ { 1 } + \frac { 1 } { 6 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d t } { 3 + t ^ { 2 } }$

$= 2 \left[ \frac { t } { t ^ { 2 } + 3 } \right] _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$ .