Question

$\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \cos x } { 1 + \cos x + \sin x } d x =$

• A. $\frac { \pi } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \log 2$
• B. $\frac { \pi } { 4 } + \log 2$
• C. $\frac { \pi } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } \log 2$
• D. $\frac { \pi } { 4 } - \log 2$

Answer 1

Answer: (C)

$\frac { \pi } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } \log 2$

Answer 2

$\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \cos x } { 1 + \cos x + \sin x } d x$

$= \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \cos ^ { 2 } ( x / 2 ) - \sin ^ { 2 } ( x / 2 ) } { 2 \cos ^ { 2 } ( x / 2 ) + 2 \sin ( x / 2 ) \cos ( x / 2 ) } d x$

$= \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { 1 - \tan ^ { 2 } ( x / 2 ) } { 1 + \tan ( x / 2 ) } d x = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \left[ 1 - \tan \left( \frac { x } { 2 } \right) \right] d x$

$\frac { \pi } { 4 } + \log \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } = \frac { \pi } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } \log 2$ .