Question

$\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { e ^ { - x } } { 1 + e ^ { - x } } d x =$

• A. $\log \left( \frac { 1 + e } { e } \right) - \frac { 1 } { e } + 1$
• B. $\log \left( \frac { 1 + e } { 2 e } \right) - \frac { 1 } { e } + 1$
• C. $\log \left( \frac { 1 + e } { 2 e } \right) + \frac { 1 } { e } - 1$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (B)

$\log \left( \frac { 1 + e } { 2 e } \right) - \frac { 1 } { e } + 1$

Answer 2

Put $1 + e ^ { - x } = t \Rightarrow - e ^ { - x } d x = d t$, then we have

$I = \int _ { 2 } ^ { 1 + \frac { 1 } { e } } \frac { ( t - 1 ) ( - d t ) } { t } = \int _ { 2 } ^ { 1 + \frac { 1 } { e } } \left( \frac { 1 } { t } - 1 \right) d t$

$= \log _ { e } \left( \frac { e + 1 } { 2 e } \right) - \frac { 1 } { e } + 1$.