Question

$\int _ { 0 } ^ { a } \frac { x ^ { 4 } d x } { \left( a ^ { 2 } + x ^ { 2 } \right) ^ { 4 } } =$

• A. $\frac { 1 } { 16 a ^ { 3 } } \left( \frac { \pi } { 4 } - \frac { 1 } { 3 } \right)$
• B. $\frac { 1 } { 16 a ^ { 3 } } \left( \frac { \pi } { 4 } + \frac { 1 } { 3 } \right)$
• C. $\frac { 1 } { 16 } a ^ { 3 } \left( \frac { \pi } { 4 } - \frac { 1 } { 3 } \right)$
• D. $\frac { 1 } { 16 } a ^ { 3 } \left( \frac { \pi } { 4 } + \frac { 1 } { 3 } \right)$

Answer 1

Answer: (A)

$\frac { 1 } { 16 a ^ { 3 } } \left( \frac { \pi } { 4 } - \frac { 1 } { 3 } \right)$

Answer 2

Put $x = a \tan \theta \Rightarrow d x = a \sec ^ { 2 } \theta d \theta$ then we have

$I = \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \frac { a ^ { 4 } \tan ^ { 4 } \theta \cdot a \sec ^ { 2 } \theta d \theta } { a ^ { 8 } \sec ^ { 8 } \theta }$

⇒ $\frac { 1 } { a ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \sin ^ { 4 } \theta \cos ^ { 2 } \theta d \theta = I = \frac { 1 } { a ^ { 3 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \left( \sin ^ { 4 } \theta - \sin ^ { 6 } \theta \right] d \theta \right.$

$= \frac { 1 } { a ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \left[ \frac { ( 1 - \cos 2 \theta ) ^ { 2 } } { 4 } - \frac { ( 1 - \cos 2 \theta ) ^ { 3 } } { 8 } \right] d \theta$

$= \frac { 1 } { 8 a ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } ( 1 + \cos 2 \theta ) \left( 1 + \cos ^ { 2 } 2 \theta - 2 \cos 2 \theta \right) d \theta$

$= \frac { 1 } { 8 a ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \left( 1 - \cos 2 \theta - \cos ^ { 2 } 2 \theta + \cos ^ { 3 } 2 \theta \right) d \theta$

$= \frac { 1 } { 32 a ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } ( 2 - \cos 2 \theta - 2 \cos 4 \theta + \cos 6 \theta ) d \theta$

$= \frac { 1 } { 32 a ^ { 3 } } \left[ 2 \theta - \frac { \sin 2 \theta } { 2 } - \frac { \sin 4 \theta } { 2 } + \frac { \sin 6 \theta } { 6 } \right] _ { 0 } ^ { \pi / 4 }$

$= \frac { 1 } { 16 a ^ { 3 } } \left( \frac { \pi } { 4 } - \frac { 1 } { 3 } \right)$.