Question

$\int _ { 0 } ^ { a } \frac { x d x } { \sqrt { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } } =$

• A. $a ( \sqrt { 2 } - 1 )$
• B. $a ( 1 - \sqrt { 2 } )$
• C. $a ( 1 + \sqrt { 2 } )$
• D. $2 a \sqrt { 3 }$

Answer 1

Answer: (A)

$a ( \sqrt { 2 } - 1 )$

Answer 2

Put $t = a ^ { 2 } + x ^ { 2 } \Rightarrow 2 x d x = d t$then

$\int _ { 0 } ^ { a } \frac { x d x } { \sqrt { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { a ^ { 2 } } ^ { 2 a ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { t } } d t$

$= \left[ \left( 2 a ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } - a ^ { 2 / 2 } \right] = a ( \sqrt { 2 } - 1 )$.