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Question

Question: \(\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { [ a x + b ( 1 - x ) ] ^ { 2 } } =\)...

∫01dx[ax+b(1−x)]2=\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { [ a x + b ( 1 - x ) ] ^ { 2 } } =

A

ab\frac { a } { b }

B

ba\frac { b } { a }

C

aba b

D

1ab\frac { 1 } { a b }

Answer

1ab\frac { 1 } { a b }

Explanation

Solution

Let I=∫01dx[(a−b)x+b]2I = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { [ ( a - b ) x + b ] ^ { 2 } }

Put t=(a−b)x+b⇒dt=(a−b)dxt = ( a - b ) x + b \Rightarrow d t = ( a - b ) d x

As x=1⇒t=ax = 1 \Rightarrow t = a and x=0⇒t=bx = 0 \Rightarrow t = b , then

I=1a−b∫ba1t2dt=1(a−b)[−1t]ba=1(a−b)(a−bab)=1abI = \frac { 1 } { a - b } \int _ { b } ^ { a } \frac { 1 } { t ^ { 2 } } d t = \frac { 1 } { ( a - b ) } \left[ - \frac { 1 } { t } \right] _ { b } ^ { a } = \frac { 1 } { ( a - b ) } \left( \frac { a - b } { a b } \right) = \frac { 1 } { a b } .