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Question

Question: \(\int _ { 1 / e } ^ { e } | \log x | d x =\)...

∫1/ee∣log⁡x∣dx=\int _ { 1 / e } ^ { e } | \log x | d x =

A

1−1e1 - \frac { 1 } { e }

B

2(1−1e)2 \left( 1 - \frac { 1 } { e } \right)

C

e−1−1e ^ { - 1 } - 1

D

None of these

Answer

2(1−1e)2 \left( 1 - \frac { 1 } { e } \right)

Explanation

Solution

∫1/ee∣log⁡x∣dx=∫1/e1−log⁡xdx+∫1elog⁡xdx\int _ { 1 / e } ^ { e } | \log x | d x = \int _ { 1 / e } ^ { 1 } - \log x d x + \int _ { 1 } ^ { e } \log x d x

=[x−xlog⁡x]1/e1+[xlog⁡x−x]1e= [ x - x \log x ] _ { 1 / e } ^ { 1 } + [ x \log x - x ] _ { 1 } ^ { e }

=(1−0)−{1e−1e(−1)}+e−e+1= ( 1 - 0 ) - \left\{ \frac { 1 } { e } - \frac { 1 } { e } ( - 1 ) \right\} + e - e + 1 =2−2e=2(1−1e)= 2 - \frac { 2 } { e } = 2 \left( 1 - \frac { 1 } { e } \right) .