Question

$\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { x \sin x \cos x } { \cos ^ { 4 } x + \sin ^ { 4 } x } d x =$

• A. 0
• B. $\frac { \pi } { 8 }$
• C. $\frac { \pi ^ { 2 } } { 8 }$
• D.

Answer 1

Answer: (D)

Answer 2

$I = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { x \sin x \cos x } { \cos ^ { 4 } x + \sin ^ { 4 } x } d x$ .....(i)

$= \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \left( \frac { \pi } { 2 } - x \right) \cos x \sin x } { \sin ^ { 4 } x + \cos ^ { 4 } x }$ .....(ii)

By adding (i) and (ii), we get

$2 I = \frac { \pi } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \cos x \sin x } { \cos ^ { 4 } x + \sin ^ { 4 } x }$dx

⇒ $I = \frac { \pi } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \tan x \sec ^ { 2 } x } { 1 + \tan ^ { 4 } x } d x$

Now, Put $\tan ^ { 2 } x = t$, we get

$I = \frac { \pi } { 8 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { 1 + t ^ { 2 } } = \frac { \pi } { 8 } \left[ \tan ^ { - 1 } t \right] _ { 0 } ^ { \infty } = \frac { \pi ^ { 2 } } { 16 }$ .