Question

$\int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \log ( 1 + \tan \theta ) d \theta =$

• A. $\frac { \pi } { 4 } \log 2$
• B. $\frac { \pi } { 4 } \log \frac { 1 } { 2 }$
• C. $\frac { \pi } { 8 } \log 2$
• D. $\frac { \pi } { 8 } \log \frac { 1 } { 2 }$

Answer 1

Answer: (C)

$\frac { \pi } { 8 } \log 2$

Answer 2

$I = \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \log ( 1 + \tan \theta ) d \theta$ ⇒ $I = \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \log \left\{ 1 + \tan \left( \frac { \pi } { 4 } - \theta \right) \right\} d \theta$

⇒ I = $\int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \log \left( 1 + \frac { 1 - \tan \theta } { 1 + \tan \theta } \right) d \theta$

⇒ I = $\int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \log 2 d \theta - \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \log ( 1 + \tan \theta ) d \theta$

$\Rightarrow I = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \log 2 d \theta = \frac { \log 2 } { 2 } | \theta | _ { 0 } ^ { \pi / 4 } = \frac { \pi } { 8 } \log 2$.