Question

$\int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \frac { \sec x } { 1 + 2 \sin ^ { 2 } x }$ is equal to

• A. $\frac { 1 } { 3 } \left[ \log ( \sqrt { 2 } + 1 ) + \frac { \pi } { 2 \sqrt { 2 } } \right]$
• B. $\frac { 1 } { 3 } \left[ \log ( \sqrt { 2 } + 1 ) - \frac { \pi } { 2 \sqrt { 2 } } \right]$
• C. $3 \left[ \log ( \sqrt { 2 } + 1 ) - \frac { \pi } { 2 \sqrt { 2 } } \right]$
• D. $3 \left[ \log ( \sqrt { 2 } + 1 ) + \frac { \pi } { 2 \sqrt { 2 } } \right]$

Answer 1

Answer: (A)

$\frac { 1 } { 3 } \left[ \log ( \sqrt { 2 } + 1 ) + \frac { \pi } { 2 \sqrt { 2 } } \right]$

Answer 2

Let $I = \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \frac { \cos x } { \cos ^ { 2 } x \left( 1 + 2 \sin ^ { 2 } x \right) } d x$

$= \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \frac { \cos x d x } { \left( 1 - \sin ^ { 2 } x \right) \left( 1 + 2 \sin ^ { 2 } x \right) }$

$= \frac { 1 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { 1 / \sqrt { 2 } } \left( \frac { 1 } { 1 - t ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 1 + 2 t ^ { 2 } } \right) d t$

By partial fractions, where $t = \sin x$

$= \frac { 1 } { 3 } \left[ \frac { 1 } { 2 } \log \frac { ( \sqrt { 2 } + 1 ) } { ( \sqrt { 2 } - 1 ) } + \sqrt { 2 } \tan ^ { - 1 } 1 \right]$

$= \frac { 1 } { 3 } \left[ \log ( \sqrt { 2 } + 1 ) + \frac { \pi } { 2 \sqrt { 2 } } \right]$.