Question

|x| ln |x| dx equals (x ¹ 0)

• A. $\frac{1}{2}$x |x| ln |x| –$\frac{1}{4}$x |x| + c
• B. $\frac{1}{2}$x |x| ln |x| +$\frac{1}{4}$x |x| + c
• C. $\frac{1}{2}$x²ln |x| –$\frac{1}{4}$x |x| + c
• D. None of these

Answer 1

Answer: (A)

$\frac{1}{2}$x |x| ln |x| –$\frac{1}{4}$x |x| + c

Answer 2

If x < 0, I = –$\int_{}^{}{x\mathcal{l}n( - x)dx}$

= – $\left\lbrack \mathcal{l}n( - x)\int_{}^{}{xdx - \int_{}^{}{\left( \frac{d\mathcal{l}n( - x)}{dx}\int_{}^{}{xdx} \right)dx}} \right\rbrack$

= – $\left\lbrack \frac{x^{2}}{2}\mathcal{l}n( - x) - \int_{}^{}{\frac{1}{x}.\frac{x^{2}}{2}}dx \right\rbrack$

= – $\left\lbrack \frac{x^{2}}{2}\mathcal{l}n( - x) - \frac{x^{2}}{4} \right\rbrack$+ c

= $\frac{1}{2}$x |x| ln |x| –$\frac{1}{4}$x |x| + c (Q x < 0)

when, x > 0; I = $\int_{}^{}{x\mathcal{l}nxdx}$

= lnx $\int_{}^{}{xdx}$–$\int_{}^{}{\left( \frac{d\mathcal{l}nx}{dx}\int_{}^{}{xdx} \right)dx}$

= $\frac { x ^ { 2 } } { 2 }$ lnx – $\frac{x^{2}}{4}$+ c

= $\frac{1}{2}$x |x| ln |x| – $\frac{1}{4}$x |x| + c (x > 0)