Question

$\lim _ { x \rightarrow 0 }$ $\frac{\sin^{- 1}x - \tan^{- 1}x}{x^{3}}$is equal to

• A. 2
• B. 1
• C. –1
• D. ½

Answer 1

Answer: (D)

½

Answer 2

$\lim _ { x \rightarrow 0 }$ $\frac{\sin^{- 1}x - \tan^{- 1}x}{x^{3}}$ $\left( \frac{0}{0}form \right)$

= $\lim _ { x \rightarrow 0 }$ $\frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{1 + x^{2}}}{3x^{2}}$ (L′ Hospital rule)

= $\frac { 1 } { 3 }$ $\lim_{x \rightarrow 0}$$\left\lbrack \frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 - x^{2}}}{(1 + x^{2})\sqrt{1 - x^{2}}} \right\rbrack$

=$\frac { 1 } { 3 }$ $\lim _ { x \rightarrow 0 }$ $\frac { 1 } { x ^ { 2 } }$ $\left[ \frac { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \left( 1 - x ^ { 2 } \right) } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \cdot \frac { 1 } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) + \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \right]$

= $\frac { 1 } { 3 }$ $\lim _ { x \rightarrow 0 }$ $\frac { x ^ { 2 } \left( 3 + x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } \left( 1 + x ^ { 2 } \right) \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } }$ .

= $\frac { 1 } { 3 }$ $\left( \frac { 3 } { 2 } \right)$= $\frac { 1 } { 2 }$