Question

$\lim_{x \rightarrow 0}$$\left\lbrack 1 - \cos\frac{x^{2}}{2} - \cos\frac{x^{2}}{4} + \cos\frac{x^{2}}{2}\cos\frac{x^{2}}{4} \right\rbrack$ is equal to –

• A. $\frac{1}{16}$
• B. –$\frac{1}{16}$
• C. $\frac{1}{32}$
• D. –$\frac{1}{32}$

Answer 1

Answer: (C)

$\frac{1}{32}$

Answer 2

$\lim _ { x \rightarrow 0 }$$\left[ 1 - \cos \frac { x ^ { 2 } } { 2 } - \cos \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \cos \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \cos \frac { x ^ { 2 } } { 4 } \right]$

= $\lim _ { x \rightarrow 0 }$$\left[ \left( 1 - \cos \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) - \cos \frac { x ^ { 2 } } { 4 } \left( 1 - \cos \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) \right]$

=$\lim _ { x \rightarrow 0 }$$\left( 1 - \cos \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) \left( 1 - \cos \frac { x ^ { 2 } } { 4 } \right)$

=$\lim _ { x \rightarrow 0 }$. 2 sin² . 2 sin² $\frac { x ^ { 2 } } { 8 }$

= $\lim _ { x \rightarrow 0 }$ $\frac { 32 } { x ^ { 8 } }$ $\left( \frac { \sin \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } \right) ^ { 2 }$ .$\left( \frac { \sin \frac { x ^ { 2 } } { 8 } } { \frac { x ^ { 2 } } { 8 } } \right) ^ { 2 }$.= $\frac { 1 } { 32 }$.

Hence (3) is the correct answer.