Question

$\int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } ( \cos x - \sin x ) d x + \int _ { \pi / 4 } ^ { 5 \pi / 4 } ( \sin x - \cos x ) d x$ $+ \int _ { 2 \pi } ^ { \pi / 4 } ( \cos x - \sin x ) d x$ is equal to

• A. $\sqrt { 2 } - 2$
• B. $2 \sqrt { 2 } - 2$
• C. $3 \sqrt { 2 } - 2$
• D. $4 \sqrt { 2 } - 2$

Answer 1

Answer: (D)

$4 \sqrt { 2 } - 2$

Answer 2

$I = \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } ( \cos x - \sin x ) d x + \int _ { \pi / 4 } ^ { 5 \pi / 4 } ( \sin x - \cos x ) d x$

$+ \int _ { 2 \pi } ^ { \pi / 4 } ( \cos x - \sin x ) d x$

$= [ \sin x + \cos x ] _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } - [ \sin x + \cos x ] _ { \frac { \pi } { 4 } } ^ { \frac { 5 \pi } { 4 } } + [ \sin x + \cos x ] _ { 2 \pi } ^ { \frac { \pi } { 4 } }$

$I = \left[ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - 1 \right] - \left[ - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) \right] + \left[ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - 1 \right]$

$I = [ \sqrt { 2 } - 1 ] - [ - \sqrt { 2 } - \sqrt { 2 } ] + [ \sqrt { 2 } - 1 ]$

$I = [ \sqrt { 2 } - 1 + 2 \sqrt { 2 } + \sqrt { 2 } - 1 ]$ $= 4 \sqrt { 2 } - 2$.