Question

$\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d x } { a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x + b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } x } =$

• A.
• B. $\pi ^ { 2 } a b$
• C. $\frac { \pi } { a b }$
• D. $\frac { \pi } { 2 a b }$

Answer 1

Answer: (D)

$\frac { \pi } { 2 a b }$

Answer 2

Dividing the numerator and denominator by $\cos ^ { 2 } x$ we get

$I = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } x } d x } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } } = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \sec ^ { 2 } x } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \tan ^ { 2 } x } d x$.

Substituting $x = \frac { \pi } { 2 }$then

Therefore, $I = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \frac { d t } { b } } { a ^ { 2 } + t ^ { 2 } } = \frac { 1 } { b } \left[ \frac { 1 } { a } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { t } { a } \right) \right] _ { 0 } ^ { \infty }$

$= \frac { 1 } { a b } \left[ \tan ^ { - 1 } \infty - \tan ^ { - 1 } 0 \right] = \frac { 1 } { a b } \left( \frac { \pi } { 2 } - 0 \right) = \frac { \pi } { 2 a b }$.