Question

$\int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { 2 x ( 1 + \sin x ) } { 1 + \cos ^ { 2 } x }$ dx is -

• A. $\frac { \pi ^ { 2 } } { 4 }$
• B. p²
• C. Zero
• D. $\frac { \pi } { 2 }$

Answer 1

Answer: (B)

p²

Answer 2

$\int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { 2 x ( 1 + \sin x ) } { 1 + \cos ^ { 2 } x }$ dx

= dx + 2 dx

I = 0 + 4

I = 4

I = 4 $\int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { ( \pi - x ) \sin x } { 1 + \cos ^ { 2 } x }$

Ž I = 4p $\int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { \sin x } { 1 + \cos ^ { 2 } x }$ dx – 4 $\int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { x \sin x } { 1 + \cos ^ { 2 } x }$ dx

2I = 4pdx

Let cos x = t

Ž sin x dx = – dt

\I = 2p $] _ { - 1 } ^ { 1 }$

= 2p [tan^–1 (1) – tan^–1 (–1)] = 2p $\left[ \frac { \pi } { 4 } + \frac { \pi } { 4 } \right]$

= 2p × $\frac { \pi } { 2 }$ = p².