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Question

Question: \(\int _ { - \pi / 4 } ^ { \pi / 2 } e ^ { - x } \sin x d x =\)...

∫−π/4π/2e−xsin⁡xdx=\int _ { - \pi / 4 } ^ { \pi / 2 } e ^ { - x } \sin x d x =

A

−12e−π/2- \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \pi / 2 }

B

−22e−π/4- \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } e ^ { - \pi / 4 }

C

−2(e−π/4+e−π/4)- \sqrt { 2 } \left( e ^ { - \pi / 4 } + e ^ { - \pi / 4 } \right)

D

0

Answer

−12e−π/2- \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \pi / 2 }

Explanation

Solution

∫−π/4π/4e−xsin⁡xdx=[e−x2(−sin⁡x−cos⁡x)]−π/4π/2\int _ { - \pi / 4 } ^ { \pi / 4 } e ^ { - x } \sin x d x = \left[ \frac { e ^ { - x } } { 2 } ( - \sin x - \cos x ) \right] _ { - \pi / 4 } ^ { \pi / 2 }

=12[e−x(−sin⁡x−cos⁡x)]−π/4π/2= \frac { 1 } { 2 } \left[ e ^ { - x } ( - \sin x - \cos x ) \right] _ { - \pi / 4 } ^ { \pi / 2 }

=12[e−π/2(−1−0)−{eπ/4(12−12)}]=−e−π/22= \frac { 1 } { 2 } \left[ e ^ { - \pi / 2 } ( - 1 - 0 ) - \left\{ e ^ { \pi / 4 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) \right\} \right] = - \frac { e ^ { - \pi / 2 } } { 2 }.