Question

$\int _ { - 1 } ^ { 1 } x \tan ^ { - 1 } x d x$ equals

• A. $\left( \frac { \pi } { 2 } - 1 \right)$
• B. $\left( \frac { \pi } { 2 } + 1 \right)$
• C. $( \pi - 1 )$
• D. 0

Answer 1

Answer: (A)

$\left( \frac { \pi } { 2 } - 1 \right)$

Answer 2

$I = \int _ { - 1 } ^ { 1 } x \tan ^ { - 1 } x d x = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x \tan ^ { - 1 } x d x$

$\because x \tan ^ { - 1 } x$is an even function

$I = \left[ 2 \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \tan ^ { - 1 } x \right] _ { 0 } ^ { 1 } - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 } \frac { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } d x$

$I = \left[ x ^ { 2 } \tan ^ { - 1 } x \right] _ { 0 } ^ { 1 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x ^ { 2 } + 1 - 1 } { 1 + x ^ { 2 } } d x$

I = $\left[ x ^ { 2 } \tan ^ { - 1 } x \right] _ { 0 } ^ { 1 } - [ x ] _ { 0 } ^ { 1 } + \left[ \tan ^ { - 1 } x \right] _ { 0 } ^ { 1 }$

⇒ $I = \frac { \pi } { 4 } - 1 + \frac { \pi } { 4 } = \frac { \pi } { 2 } - 1$.