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Question

Question: In\(a , b , c\) are in....

Ina,b,ca , b , c are in.

A

A. P.

B

G. P.

C

H. P.

D

None of these

Answer

A. P.

Explanation

Solution

cos⁡A+cos⁡C=4sin⁡212B\cos A + \cos C = 4 \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } B

⇒ 2cos⁡A+C2cos⁡A−C2=4sin⁡2B22 \cos \frac { A + C } { 2 } \cos \frac { A - C } { 2 } = 4 \sin ^ { 2 } \frac { B } { 2 }

⇒ cos⁡A+C2cos⁡A−C2=2sin⁡2B2\cos \frac { A + C } { 2 } \cos \frac { A - C } { 2 } = 2 \sin ^ { 2 } \frac { B } { 2 }

⇒ cos⁡(A−C2)=2sin⁡B2\cos \left( \frac { A - C } { 2 } \right) = 2 \sin \frac { B } { 2 }

⇒ cos⁡A2cos⁡C2+sin⁡A2sin⁡C2=2sin⁡B2\cos \frac { A } { 2 } \cos \frac { C } { 2 } + \sin \frac { A } { 2 } \sin \frac { C } { 2 } = 2 \sin \frac { B } { 2 }

⇒ s(s−a)bcs(s−c)ab+(s−b)(s−c)bc(s−a)(s−b)ab\sqrt { \frac { s ( s - a ) } { b c } } \sqrt { \frac { s ( s - c ) } { a b } } + \sqrt { \frac { ( s - b ) ( s - c ) } { b c } } \sqrt { \frac { ( s - a ) ( s - b ) } { a b } }

=2(s−a)(s−c)ac= 2 \sqrt { \frac { ( s - a ) ( s - c ) } { a c } }

(s−a)(s−c)ac+s−bb(s−c)(s−a)ac\frac { \sqrt { ( s - a ) ( s - c ) } } { a c } + \frac { s - b } { b } \sqrt { \frac { ( s - c ) ( s - a ) } { a c } } =2(s−a)(s−c)ac= 2 \sqrt { \frac { ( s - a ) ( s - c ) } { a c } }

⇒ sb+s−bb=2\frac { s } { b } + \frac { s - b } { b } = 2 ⇒ a+c=2ba + c = 2 b⇒ a,b,ca , b , c are in A. P.